今日の１問

a1=2, an+1 = (n+1)an + n

漸化式は僕の大好物だが、奇遇にもこのタイプの問題にはいまだかつて出会ったことがなかった。

左辺がnan+1になっていないから、両辺をn(n+1)で割ってもダメ。

次に、n=1,2,...としばらく代入してみた。

すると、数が極端に大きくなることがわかる。

ここで階差数列を疑ってみたが、1回、2回、...と差をとってみても、それらしい数列は出現しない。

ただ、例えばa2=2a1+1をa3=3a2+2に代入すると、

a3=3×(2a1+1)+2

=3×2a1+3+2

となっている。

3×2の部分に注目すると、階乗が出現していることがわかる。

ここで、「両辺を(n+1)!で割るのでは…？」という声をもらう。

自分で気がつけないのは情けないが、確かにかなり良い感触を得た。

an+1 = (n+1)an + n

(n+1)! (n+1)×n! (n+1)!

an+1 = a n + n

(n+1)! n! (n+1)!

ここで再び長考に沈む。

右辺の分子のnがめちゃくちゃ邪魔だな…

ああでもない、こうでもない…と考え続けること30分、ようやく

n = (n+1) -1

とすればよいことに気がつく。

an+1  = an  +  n+1 － 1

(n+1)! n! (n+1)! (n+1)!

an+1  = an  +  1  －    1

(n+1)! n! n! (n+1)!

ここまでくれば、もうカンタン。 ただ、今回は喜びを感じることがなく、解答自体がわずか数行の問題に時間がかかり過ぎたことを悲しく思うとともに、今後このタイプの漸化式が出てきたら逃すまいということを自分に誓った。